中学生逆向思维巧解数学难题
中学生逆向思维巧解数学难题(1)
一、数学概念的逆问题
例1如果化简| 1-x |-的结果是2x-5，求x的取值范围。
分析:原公式=|1-x|-|x-4|
根据题意应该是:x-1-(4-x)=2x-5。
从绝对值概念的相反方向考虑，条件如下:
1-x≤0，x-4≤0
∴x的取值范围是:1≤x≤4。
二、代数运算的逆过程
例2有四个有理数:3，4-6，10。这四个数加、减、乘、除(每个数只使用一次)得出结果24。请写出符合要求的公式。
解析:先想象3×8=24，再考虑如何从4，6，10算出8，从而找到想要的公式:
3(4-6+10)=24
类似的还有:4-(-6×10)÷3；
10-(-6×3+4);3(10-4)-(-6)等等。
第三，不等式性质的逆向应用
例3如果不等式关于X(A-1)X >；a2-2的解集是x
分析:根据不等式性质3，从反方向分析，得到:
a-1 & lt；0，a2-2=2(a-1)
∴a的值是a=0。
四、分数阶方程逆向分析的检验
例4已知方程-= 1有一个增根，求它的增根。
解析:这个分式方程的根可能是x=1，也可能是x=-1。
将原方程的分母去掉排序，得到x2+mx+m-1=0。
若代入x=1，可得m = 3；
如果x=-1代入，找不到m；
∴m的值是3，原方程的根是x=1。
第五，图形变换的逆问题
例5中△ABC，AB
解析:我们曾经把梯形剪成三角形，就是让梯形的一部分绕一个腰的中点旋转180。这个问题正好相反。受此启发，再应用等腰梯形的性质，得出以下做法:
设AD⊥BC，垂足为d点，在BC上截DE=BD，接AE，则∠ AEB = ∠ B
过AC中点m为MP∑AE，过BC于p，MD为所需剪切线。截掉△MPC，就可以做一个等腰梯形ABPQ。
逆向思维的训练(2)
(一)双极倒置法
一般情况下，我们遇到或者认识两极中的一极，不妨重新认识对面的一极，一个新的世界或许会向我们期待。
鲁人做鞋帽生意。
《韩非子》里有个故事:鲁国有个人很会织，他的妻子也是织绸缎的能手。他们打算一起去岳做生意。有人劝他:“不要去，不然你会失败的。”鲁国人问:“为什么？”那人回答说:“你很擅长织鞋子，但是越南人习惯赤脚走路；你老婆擅长织绸缎，用来做帽子，而越南人习惯留长发，从来不戴帽子。凭你的好本事去越南也没用。你能不失败吗？”结果，鲁人并没有改变他们的初衷。三五年后，他不但没有失败，反而成了有名的大富翁。
很多事情的成功，问题的解决，往往得益于逆向思维，这个鲁族的成功也是如此。
山东人当然应该去需要鞋帽的地区，而不是去不习惯穿鞋帽的越南。但鲁人打破了这种习惯性的思维方式，认为正是因为越人不穿鞋帽，才有了广阔的市场前景和巨大的销售潜力。只要改变越人的粗鲁习惯，越国就会成为最大的鞋帽市场。这就是鲁成功的秘诀，逆向思维帮了他大忙。
(2)中间融合法
面对两极，人们既不能握住这一极，也不能握住那一极，而是使两极在中间融合，存在一种非此即彼的中间状态。很多创新的想法都是在整合的过程中产生的。比如女士穿平跟鞋，走路舒服轻松；他们穿着高跟鞋，走路挺拔有气势。但是，为什么只能是平跟鞋或者高跟鞋，才能让对立的两极在中间融合呢？于是，楔形鞋被开发出来。它既不是平跟鞋，也不是高跟鞋，但它兼具平跟鞋和高跟鞋的优点。
(3)回弹琵琶法
归谬法是弹琵琶的方法。它的特点是不直接证明命题，而是从反面论证。即假设原命题的结论不能成立，提出相反的结论，然后证明这个相反的结论不能成立，从而证明原结论是正确的。应用归谬法的步骤如下:①对要证明的命题做出否定结论。(2)从这个否定的结论出发，用逻辑方法进行推理，从而得出矛盾的结论；或与命题的条件相矛盾，或与试探性假设相矛盾，或与已知的公理、定义、定理相矛盾。③排除否定结论，肯定命题的原结论。
孙膑比魏惠王聪明。
孙膑是战国时期著名的军事家。他去俄罗斯求职。魏惠王心胸狭窄，嫉妒他的才华。他故意刁难孙膑，说:“听说你挺有才华的。如果你能让我离开我的位子，我将任命你为将军。”魏惠王想:我就是起不来，那你能怎么办呢？孙膑希望魏惠王留在他的座位上。我不能用武力拖垮他。拉皇帝下台是死罪。我们做什么呢只有用逆向思维法，他才能自动下来。于是，孙膑对魏惠王说:“我真的不能让国王下台，但我可以让你坐上王位。”。魏惠王心想，这不是——怎么了，我就是不坐下，你再忍着我吧！他高兴地从座位上走下来。孙膑马上说:“虽然我现在不能让你坐回去，但我已经让你从座位上下来了。”魏惠王知道自己上当了，只好任命他为将军。
“弹琵琶”实际上是利用对立互补关系实施迂回战术。一个国王总是吹嘘自己不仅是至高无上的权威，而且是“仁慈的”救世主。在处决犯人之前，他应该给他们一个抽生死票的机会。如果抽到“活”字，他们将免于死亡。有一次，一个犯人即将被执行死刑，他的敌人贿赂了狱卒，在两张纸上都写了“死”。没想到，有人把消息泄露给了犯人。犯人听后笑着说:“啊！我能活下来。”国王宣布抽签后，犯人抽了很多，二话不说吞了下去。现在在场的人都慌了，因为没人知道犯人吞的是“死”还是“生”。我听到国王大声吼道:“笨蛋，你只要看看剩下的纸就行了。”显然，留下的是“死”字招牌，证明犯人吞下了“活”字招牌。聪明的犯人巧妙地运用了归谬法，活了下来。
(4)换位法
换位法是一种创造性的方法，可以颠倒侦查命题，发明新事物。
在动物园里，将动物关在笼子里，游客在公园里观看动物是常见的做法。然而，在野生动物园里，动物们正在吃草。为了防止狮虎攻击伤人，游客被允许坐在封闭的车里观光，但并不有趣。
生产玩具的厂家一般都追求鲜艳的颜色和漂亮的造型来赢得顾客的喜爱。然而，美国鬼才公司却设计出了一只皮肤又皱又丑的玩具狗。这种一反常态的想法，是一只风格迥异的丑狗，丑中有一丝纯真，引起人们的好奇，花几个钱把一只陌生的狗抱回家也是值得的。不出所料，皱皮狗成为市场上最畅销的产品。
发明充气灯泡的朗缪尔也采用了这种方法。那时候的电灯泡有一个致命伤，钨丝通电后容易脆，灯泡壁用了不久就会变黑。一般认为，要克服这个问题，必须大大提高灯泡的真空度。朗缪尔的想法不同。他不是忙着提高灯泡的真空度，而是在灯泡里分别充入氢气、氮气、二氧化碳、氧气和水蒸气，研究它们在高温低压下与钨丝的相互作用。当他发现氮气可以减少钨丝的蒸发时，他做出了钨丝在大气压下长时间在氮气中工作是可能的判断。1928年，因发明充气灯泡和研究高温低压化学反应的突出贡献，获得帕金奖章。
思维方法来个180度大转弯，有时能取得意想不到的效果。历史上很多科学家都是用逆向思维的方法做出了伟大的发现和发明。
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