初中一道概率题(回答好会给100分)

假设有n个人抽烟，错位类型为an。

当n=2时，显然只有一个，A取B，B取A，a2=1。

当n=3时，A取B，B取C，C取A；A取C，C取B，B取A，a3=2。

那么就需要递归了。

假设n = K时存在ak位错。

那么当n=k+1时

添加了k+1的名称。

肯定不是k+1。

肯定有一个我(我不是k+1)的人拿了k+1。

然后分为两种情况:

(1)k+1人取I，于是就变成了k+1-2=k-1人错排的情况。

就是有一个(k-1)，但是我可以取1，2，...，k。

所以这种情况下有k*a(k-1)位错法。

(2)k+1的人不带I，剩下的可以随意错位，因为相当于K个人错位，把I换成K+1。

所以有ak种，同样的I可以取为1，2，...，k。

所以总* * *是k*ak种。

从而得到递推公式。

a(k+1)= k * a(k-1)+k * AK

当k = 3和n = 4被验证时。

A拿B，B拿A，C拿D，D拿C。

A得到C，C得到A，B得到D，D得到B。

A拿D，D拿A，C拿B，B拿C。

a拿B，B拿C，C拿D，D拿a。

a拿B，B拿D，D拿C，C拿a。

a得到C，C得到B，B得到D，D得到a。

a拿C，C拿D，D拿B，B拿a。

a拿D，D拿B，B拿C，C拿a。

a拿D，D拿C，C拿B，B拿a。

a4=9

而3 * a 1+3 * a2 = 3 * 1+3 * 2 = 9。

所以递推公式成立。

所以坚持做下去就能得到

a5=4*(a3+a4)=4*(9+2)=44

a6=5*(a4+a5)=5*(9+44)=265

a7 = 6 *(a5+a6)= 6 *(44+265)= 1854

A8 = 7 *(a6+a7)= 7 *(265+1854)= 14833

a9 = 8 *(1854+14833)= 133496

a 10 = 9 *(14833+133496)= 1334961

总* * *的可能排列是10 * 9 * 8 *...* 1 = 3628800.

所以第一个问题的答案是

1334961/3628800=465/1264

第二个问题是

1-465/1264=799/1264