Doe很难抽签。
例2已知有理数A，B，C在数轴上对应的点分别是A，B，C(如右图所示)。简化。
分析可以直接从数轴得到A、B、C的正负，但这个问题的关键是要去掉绝对值，所以要判断绝对值符号中表达式的正负。我们知道“在数轴上，右边的数总是大于左边的数”，大数归约的数为正，小数减大数的数为负，这样就可以得到A-B
解是已知的数轴，a
因此，=-a-(a-b)+(c-b)=-a-a+b+ c-b =-2a+c。
示例3计算:
这个问题的分析看似复杂，其实是纸老虎。只要你敢算，马上就能找到技巧，问题就变得很简单。
求解原公式= =
例4计算:2-22-23-24-...-218-219+220.
分析这个问题，计算每一项，加起来，显然太麻烦了。怎么能“互相抵消”呢？我们可以从最简单的情况考虑。2-22+23 = 2+22 (-1+2) = 2+22 = 6.然后考虑2-22-23+24 = 2-22+23(-1+2)= 2-。这个方法可以应用到原问题中吗？显然，这是可能的。
求解公式= 2-22-23-24-218+219(-1+2)
=2-22-23-24-……-218+219
=2-22-23-24-……-217+218(-1+2)
=2-22-23-24-……-217+218
=……
=2-22+23
=6
核心练习
1，已知│ab-2│和│b-1│是反义词，试求的值。
(提示:这个问题可以看作是例1的升级版，代入A和b的值就成了例1。)
2.代数表达式有()个可能值(2，3，4，无数)。
参考答案
1、 2、3
字母表示几篇文章。
核心提示
用字母表示数字的核心知识是求代数的值，求规律。在求代数的值时，简单的代入一个数进行求值就很简单了。如果条件是方程，可以适当变形所需公式，采用整体代入法或特殊值法。
典型例子
已知示例1:3x-6y-5 = 0，则2x-4y+6 = _ _ _ _
分析对于这类问题，我们通常采用“整体代换法”，先将条件简化，然后将所需代数转化为可代换形式，进行代换。这类问题有更简单的方法，可以用“特殊值法”取y=0，从3x-6y-5=0，把X和Y的值代入2x-4y。
解是3x-6y-5=0，得到。
所以2x-4y+6=2(x-2y)+6= =
例2代数表达式已知，其中n为正整数。当x=1时，代数式的值为，当x=-1时，代数式的值为。
分析表明，当x=1时，可以直接得到答案。但是当x=-1时，如何确定n和(n-1)的奇偶性？因为n和(n-1)是连续的自然数，所以两个数一定是奇数和偶数。
解当x=1时，
= =3
当x=-1时，
= =1
例3 152 = 225 = 100×1(1+1)+25，252 = 625 = 100×2(2+1)+
352=1225=100×3(3+1)+25, 452=2025=100×4(4+1)+25……
752=5625= ,852=7225=
(1)找到规律，完整填写横线；
(2)请用字母表示法律；
请计算20052的值。
如果横向很难找到规律，可以纵向找，规律一目了然。100不变，加25不变，加括号内的1不变，只有括号内的加数和括号外的因子随着平方数的十位数而变化。
解(1)752 = 100×7(7+1)+25，852 = 100× 8 (8+1)+25。
(2)(10n+5)2 = 100×n(n+1)+25
(3) 20052=100×200(200+1)+25=4020025
例4是如图①所示的三角形。连接三角形的三条边的中点得到图②，再连接图②中间小三角形的三条边的中点得到三角形的个数如图③所示。
(1)当n=4，S=，
(2)根据这条规则，请写出N代表s的公式.
分析当n=4时，我们可以继续画，得到三角形的个数。如何找到规律？有时候我们很难单纯从结果中看到规律，要学会从变化的过程中去发现规律。比如我们可以通过列表的方式找到它，法律马上就会出现。
解(1)S=13
(2)可以列表查找法律:
n
1
2
三
…
n
S
1
五
九
…
4(n-1)+1
s的变化过程
1
1+4=5
1+4+4=9
…
1+4+4+…+4 = 4(n-1)+1
所以S=4(n-1)+1。(当然也可以写成4n-3。)
核心练习
1，观察以下列号，探索规律:
—1, , , , ,
①填空:数字11、12、13分别为、；
②第2008号是多少？
(3)如果这个列号无限排列，哪个号越来越近？。
2.观察以下类型:1+1× 3 = 22，1+2× 4 = 32，1+3× 5 = 42，...请用公式表达你发现的规律:
参考答案
1、① , , ;② ;③0.
2、1+n×(n+2) = (n+1)2
平面图形及其位置关系
核心提示
平面图形是一个简单的几何问题。几何题很好学，但是有时候很难表达，就是过程写不好。所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或角度的过程。每个人写的可能不一样，但只要表达清楚，就尽量简单。
典型例子
例1平面上相交的六条直线至少有_ _ _ _ _条，最多有_ _ _ _。
六条直线的最小交点个数是1。怎么求最大数？我们可以让直线从少到多一步步找到规律。把表列出来会更清楚。
求解求最交集定律；
直线数量
2
三
四
…
n
交叉点的数量
1
三
六
…
交叉点编号的变化过程
1
1+2=3
1+2+3=6
…
1+2+3+…+(n-1)
图表
图1
图2
图3
…
例2两条平行直线M和N上分别有四个点和五个点。如果九个点中的两个点连接成一条直线，那么一个* * *可以连接()条直线。
第36条第34条第22款
分析求解让直线M上的四个点和直线N上的五个点分别连接确定20条直线，再加上直线M上的四个点和直线N上的五个点确定的一条直线，就***成了22条直线。所以选了D。
如图3所示，OM是∠AOB的平分线。射线OC在∠BOM，ON是∠BOC的平分线。已知∠ AOC = 80，那么∠MON的大小等于_ _ _ _ _。
分析求∠MON有两种方法。你可以用sum来求，那就是∠ mon = ∠ MOC+∠ con .你也可以用difference来求，所以有很多方法，∠mon =∠mob-∠bon =∠AON-∞。
解因为OM是∠AOB的平分线，on是∠BOC的平分线，
所以∠MOB= ∠AOB，∠NOB= ∠COB。
所以∠mon =∠MOB-∠NOB =∠AOB-∠COB =(∠AOB-∠COB)=∠AOC =×80 = 40。
例4，如图所示，已知∠AOB = 60，OC为∠AOB的平分线，OD和OE平分∠BOC和∠AOC。
(1)求∠DOE的大小；
(2)当OC在∠AOB中绕O点旋转时，OD和OE仍然是∠BOC和∠AOC的平分线。问∠DOE的大小是否和(1)中的答案一样，从这个过程中可以得出什么结论。
这个问题分析起来似乎比较复杂，OC在∠AOB中要绕O点旋转，这是一个动力学问题。当你解子题(1)时，你会发现∠DOE是∠AOB的一半，也就是说，所需的∠DOE与OC在∠AOB中的位置无关。
解(1)因为OC是∠AOB的平分线，OD和OE平分∠BOC和∠AOC。
所以∠DOC= ∠BOC，∠COE= ∠COA。
所以∠DOE =∠Doc+∠COE =∠BOC+∠COA =(∠BOC+∠COA)=∠AOB。
因为∠ AOB = 60
所以∠ DOE = ∠ AOB =× 60 = 30。
(2)由(1)可知∠DOE = ∠AOB与OC在∠AOB中的位置无关，所以∠DOE的大小与(1)中的答案相同。
核心练习
1，A，B，C，D，E，F是圆周上的六个点，连接其中任意两个点可以得到一条线段。这样的线段* * *可以连接_ _ _ _ _。
2.在1小时和2小时之间，时钟的时针和分针成直角的时刻是1分钟。
参考答案
第1条，第15条2，.
一维线性方程
核心提示
一元线性方程的核心问题是解方程，列方程解决应用问题。解带分母的方程时，要找出分母的最小公倍数。去掉分母的时候一定要加括号，这样不容易出错。解带参数的方程或绝对值方程时，要学会代入，分类讨论。列方程主要用于解决实际问题。需要注意的是，所列方程必须是可解的、易解的，即求解列方程时要选择合适的等价关系。
典型例子
例1已知方程2x+3=2a的解与方程2x+a=2的解相同。求a的值.
分析因为两个方程的解是一样的，可以先解其中一个，把这个方程的解代入另一个方程就可以求解。仔细观察发现，这个问题不需要找x，可以整体代入2x。
解是2x+3=2a，2x=2a-3。
将2x=2a-3代入2x+a=2。
2a-3+a=2，
3a=5，
因此
例2解方程
这是一个非常好的话题，包括去掉分母，忘记符号。
同时将解的两边乘以6，你得到
6x-3(x-1)= 12-2(x+1)
分母，得到
6x-3x+3=12-2x-2
6x-3x+2x=12-2-3
5x=7
x=
例3:一家商场销售一种商品。因为购买时的价格比原购买价格低6.4%，利润增加8个百分点。求这个商品的原始利润率。
分析这类问题，首先要搞清楚利润率、售价和进价之间的关系。因为售价=进价×(1+利润率)，所以我们需要设置进价，用同一个售价建立方程。
解:如果原进价为X元，销售价为Y元，则按原进价销售的利润率为
原始采购价格降低后，销售时的利润率为:
+8%=
解是y=1.17x。
因此，该商品的原始利润率=17%。
例4解方程│x-1│+│x-5│=4
分析对于一个有一个绝对值的方程，我们可以分两种情况来讨论，但是对于一个有两个绝对值的方程，道理是一样的。我们可以先找到两个绝对值的“零点”，然后把“零点”放在中轴上讨论x .
解:从题意来看，当│x-1│=0，x = 1；当│x-5│=0，x=5.1和5把X轴分成三部分，可以分别讨论:
1)当x
2)当1≤x≤5时，可将原方程变为(x-1)-(x-5)=4，解为4=4，故x可在1≤x≤5范围内任意取值。
3)当x >时；5、原方程可改为(x-1)+(x-5)=4，解为x=5。5，所以应该废弃。
所以1≤x≤5是不可比的。
核心练习
1.已知方程3[x-2(x- )]=4x关于x有相同的解，所以这个解是。(提示:此题可视为例1的升级版)。
2.如果有人以4 km/h的速度从A走到B，再以6 km/h的速度从B回到A，那么某人往返的平均速度就是_ _ _ _ km/h .
参考答案
1、 2、4.8
生活中的数据文章
核心提示
对于生活中的数据问题，要区分三种统计图的特点，条形图表示数字，折线图表示变化趋势，平面图表示百分比。学会观察和思考相对简单。
典型例子
例1以下是上届省运会两支篮球队四场比赛的结果:(单位:分钟)
研究哪些统计图表可用于分析和比较两个团队，并回答以下问题:
(1)如何设计统计图表？
(2)如何评价这两支队伍？和你的同学交流你的想法。
选择什么样的统计图，要根据数据的特点和要达到的目的来确定。这个问题可以用复合柱状图来达到直观有效的目的。
解释复合条形图:(如下所示)
从双条形图可以看出，B队三战全胜，1负。
例2根据以下三个统计图回答问题(如下图所示):
(1)三张图表分别代表什么？
(2)从哪个统计图可以看出世界人口的变化？
(3)2050年非洲将有多少亿人口？这个数据是从哪个统计图上得来的？
(4)2050年，亚洲的人口将超过其他大陆的人口总和。从哪个统计图可以明确得出这个结论？
分析这类问题可以根据三个统计图的特点来回答。
(1)折线图展示了世界人口的变化趋势，条形图展示了各大洲的人口数量，扇形图展示了各大洲占世界人口的百分比。
(2)折线统计图
(3)80亿，折线统计。
(4)行业统计图
核心练习
1.下图是第27届奥运会金牌扇形统计图。根据图表中提供的信息回答下列问题:
(1)哪个国家的金牌数最多？
(2)中国能排在哪里？
(3)如果你是中国队主教练，下一届奥运会的追赶目标是谁？
参考答案
1，(1)美国(2)第3名(3)俄罗斯。
平行线和交叉线
核心提示
平行线和相贯线的核心知识是平行线的性质和判断。单独使用自然或判断的题目比较简单，但交替使用时不容易把握，有时很难区分什么时候用自然，什么时候用判断。我们只需要记住，因为它是一个条件，所以我们得到一个结论，然后通过比较性质定理和判断定理，我们就可以很容易地区分它。
这部分的另一个核心知识是写证明的过程。有时候我们觉得会做，但是怎么写呢？我们往往不知道先写什么，再写什么。写作的过程就是把一件事说清楚，让别人看得懂。我们可以抱着这个目的把流程写好。
典型例子
1平面上有五个点，其中只有三个点在同一条直线上。若每两点相交，可画一条直线，画一个* * *为直线()。
a7 b . 6 c . 9d . 8
我们可以画出这五个点，直接查就可以得到直线的个数。我们也可以假设只有A、B、C三个点在一条直线上，D、E两个点分别与A、B、C * * 6确定三条直线，A、B、C三个点确定一条直线，D、E两个点确定一条直线，所以五个点* * *。
例2 ∠ Bed = 60，∠ B = 40，∠ D = 20。证明:AB∨CD。
在分析中证明两条直线平行，可以考虑用哪种判断方法得到平行度？三个角的度数已知，但不是等腰角，也不是内切角。因此，它们可以被认为是建立连接的辅助线。用内切角可以证明BE的延伸是平行的。AB通过E点的平行线可以证明FG和CD也是平行的，从而AB∑CD可以连通BD，这也可以通过同侧内切角的互补来证明。
将BE-cross CD的延伸解卷到o，
∠∠BED = 60，∠D=20，
∴∠BOD=∠BED-∠D=60 -20 =40，
∫∠B = 40，
∴∠BOD=∠B，
∴AB∥CD.
其他方法，你可以自己试试！
如图3，在△ABC中，CE⊥AB在e中，DF⊥AB在f中，AC∨ed，CE是∠ACB的平分线。证明:∠EDF=∠BDF。
CE∨DF也叫AC∨ED，可以通过分析CE和DF垂直于AB得到，利用内部位错角和同余角的等价性得到一个结论。
解决∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE∥DF
∴∠EDF=∠DEC，∠BDF=∠DCE，
∫AC∑ED，
∴∠DEC=∠ACE，
∴∠EDF=∠ACE.
∫CE是∝∠ACB的平分线，
∴∠DCE=∠ACE，
∴∠EDF=∠BDF.
如图4，在△ABC中∠c = 90°，且∠CAB与∠CBA的平分线相交于O点，求∠AOB的度数。
分析可知∠c = 90°，由此可知∠CAB和∠CBA之和为90°，由角平分线的性质可知∠OAB和∠OBA之和为45°，因此可以得到∠AOB的度数。
解∫OA是∠CAB的平分线，OB是∠CBA的平分线。
∴∠OAB= ∠CAB，∠OBA= ∠CBA，
∴∠oab+∠oba=∠ca b+∠CBA =(∠ca b+∠CBA)=(180-∠c)= 45
∴∠aob=180-(∠OA b+∠oba)= 135。
(注:实际∠AOB = 180-(∠OAB+∠OBA)= 180-(180-∠C)。
=90 + ∠C。
所以∠AOB的度只和∠C的度有关，可以记为结论。)
核心练习
1，如图，AB∑ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D，验证:β=2α。(提示:此题可视为例2的升级版)
2.如图，E是DF上的一点，B是AC上的一点，∠1=∠2，
∠C=∠D，验证:∠ A =∠ F。
参考答案
1，BC或DC可以延伸，BD可以连接，C可以作为平行线。
2，先BD∨CE，再DF∨AC。
三角章
核心提示
三角形同余的核心问题是证明同余。根据同余的五种判断方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，否则容易出错。如果用SAS证明同余，就要找出两边及其夹角是等价的。有时为了证明同余，条件中没有两个同余三角形，需要适当构造同余。
典型例子
示例1如图所示。在△ABC中，AB=AC，D和E分别在BC和AC的边上，而∠1=∠B，AD=DE。验证:△ADB≔△dec .
需要证明△ADB和△DEC全等，且AD=DE的一对边已经存在。由AB=AC可知∠B=∠C，需要一对边或一条对角线。从条件∠1=∠B，更容易找到角度。从外角可知∞。
证明∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∫≈1 =∠B，
∴∠1=∠C，
∠∠BDA =∠DAC+∠C，∠CED=∠DAC+∠1
∴∠BDA=∠CED.
在亚洲开发银行和十二月
∴△ADB≌△DEC。
例2如图，AC∨BD，EA，EB除∠CAB，∠DBA，CD过E点，验证:AB=AC+BD。
分析证明AB=AC+BD有两种方法。AB可以分成两段，分别等于AC和BD，也可以把AC和BD连成一段线段，证明它们等于AB。下面给出第一种思维方式的过程。
证明了在AB上截取AF=AC，连接EF，
∵EA，不要共用∠CAB，
∴∠CAE=∠FAE，
在△艾斯和△AFE，
∴△ACE≌△AFE(SAS)，
∴∠C=∠AFE.
∫AC∨BD，
∴∠C+∠D=180，
∵∠AFE+∠BFE=180，
∴∠BFE=∠D.
∫EB平分∠DBA，
∴∠FBE=∠DBE
在△BFE和△BDE，
∴△BFE≌△BDE(AAS)，
∴BF=BD.
∫AB = AF+BF，
∴AB=AC+BD.
例3:如图，BD和CE分别是△ABC的AC和AB边上的高度，P点在BD的延长线上，BP=AC，Q点在CE上，CQ=AB。验证:(1)AP = AQ；(2)AP⊥AQ.
通过分析观察AP和AQ所在的三角形，显然有必要证明△ABP和△QCA全等。证明了可以直接得到全等的AP=AQ，通过角度之间的等价代换可以得到∠ ADP = 90。
证明了(1)∵BD和CE分别是△ABC的AC边和AB边的高度。
∴∠AEC=∠ADB=90，
∴∠ABP+∠BAC=∠QCA+∠CAB=90，
∴∠ABP=∠QCA
在△总部基地和△QCA。
∴△ABP≌△QCA(SAS)，
∴AP=AQ.
(2)由(1)△ABP≔△QCA，
∴∠P=∠QAC，
∫∠P+∠PAD = 90，
∴∠QAC+∠PAD=90，
∴AP⊥AQ.
核心练习
1，如图，在△ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则∠ AFE = _ _ _ _度。
2.如图所示，在△ABC中，∠ BAC = 90 AB = AC。d是AC的中点，AE⊥BD，垂足是e . AE延伸到BC是f .验证:∠ADB=∠CDF。
参考答案
1、60
2.提示:如果∠BAC的平分线穿过BD到P，可以先证明△ABP≔△CAF，再证明△APD≔△CFD。
生活中的轴对称物品
核心提示
轴对称的核心问题是轴对称性和等腰三角形。对于轴对称问题，要画对称点和对称图形，通过对称点寻找最短路径。等腰三角形腰相等，三条线合一，容易记忆但更重要的是使用，有时我们往往忽略了性质的应用。
典型例子
例1判断下面每组图形是否关于一条直线对称。
分析求解根据轴对称的定义和性质，仔细观察发现(1)是错误的，(2)是轴对称的。
例2下列图形中对称轴数量最多的是()
A.正方形b .长方形c .等腰三角形d .等腰梯形
E.等边三角形f .角g .线段h .圆I .正五角星形
分析与求解有一个对称轴C，D，F，G，三个对称轴E，四个对称轴A，两个对称轴B，五个对称轴I，无数个对称轴h。
如图3所示，AOB为钢架，∠ AOB = 10。为了使钢架更坚固，需要增加一些钢管EF、FG、GH……...加的钢管长度等于OE，所以最多可以加这样的钢管。
通过分析增加的钢管长度等于OE，可知每增加一根钢管，就增加了一个等腰三角形。通过分析从点到直线的所有线段的垂直段最短，当添加的钢管垂直于OA或OB时，不能添加。
解决方法每增加一根钢管，就形成一个阳角。例如，如果添加EF以形成外角∠FEA，添加FG以形成外角∠GFB。这些规则可以在列表中找到:
增加的钢管数量
1
2
三
四
…
八
形成的外角度
20
30
40
50
…
90
当形成的外角为90°时，已经加了8根这样的钢管，不能再加了，所以最多可以加8根这样的钢管。
小明利用暑假去了山区的爷爷家。每天，他的爷爷领着小明去放羊。早上，他从家里出发去草地放羊。天黑前，他把羊带到一条小河边喝水，然后他就回家了。如图，A点代表他爷爷的房子，B点代表草地，直线L代表小溪。请帮小明和他爷爷设计一个方案，让他们每天走最短的距离？
A(爷爷家)和B(草原)的距离已经确定了，我们只需要找出B到L(河)再到A的距离如何最小。因为A和B在L的同侧，所以不容易直接确定饮水处(C点)的位置。在这个问题中，可以利用轴对称性质将A点变换到河的对岸，设置为A’。无论饮用水在哪里，A点都与之对称。
如图所示，C点是饮用水的位置。
核心练习
请用1个等腰三角形、2个矩形和3个圆形在下面的方框中设计一个轴对称图形，并用简洁的语言说明你的创意。
2.如图，AB=AC，D为BC的中点，DE=DF，BC∑EF。这个图形是轴对称的吗？为什么？
参考答案
1，省略
2.它是一个轴对称图形，△ABC和△DEF的对称轴都经过D点并垂直于BC，所以两对称轴是同一条直线。
通过这些核心题目的练习，如果能举一反三，灵活变通，不仅能节省大量的时间和精力，而且效果显著。