小学数学鸽笼原理

一、知识要点

鸽子洞原理，又称鸽子窝原理，是组合数学的一个基本原理，由德国数学家窄克莱首先明确提出，所以又叫窄克莱原理。

把三个苹果放在两个抽屉里。一个抽屉里必须有两个或更多的苹果。这个众所周知的常识就是鸽子洞原理在日常生活中的体现。可以用来解决一些相当复杂甚至不可能的问题。

原理1:将n+1个元素分成n类。无论如何划分，一个类中必须有两个或两个以上的元素。

原则二:将m个元素放入n个(n < m =集合，那么一个集合中至少要有k个元素。

其中k =(当n能被m整除时)

[]+1(当n不能被m整除时)

([]表示不大于的最大整数，即的整数部分)

原理三:如果你把无穷多个元素放到一个有限集里，那么一个集合里一定有无穷多个元素。

二、应用鸽笼原理解决问题的步骤

第一步:分析问题的意思。区分什么是“物”，什么是“抽屉”，即什么是“物”，什么可以是“抽屉”。

第二步:做抽屉。这是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目的条件和结论，结合相关的数学知识，并掌握最基本的数量关系，设计确定解决问题所需的抽屉数量，为抽屉的使用做铺垫。

第三步:运用鸽子洞原理。观察出题条件，结合第二步，为了解题，适当运用各种原理或综合运用几种原理。

教室里有五个学生在做作业。今天只有四科:数学、英语、语文、地理。

证明:这五个学生中至少有两个在做同样的作业。

证明:把五个学生当成五个苹果。

数学、英语、语文、地理作业算是一个抽屉，有***4个抽屉。

根据鸽子洞原理1，一定有一个抽屉，里面至少有两个苹果。

也就是说，至少有两个学生在做同一科目的作业。

例2:木箱里有3个红色的球，5个黄色的球和7个蓝色的球。如果蒙着眼睛摸它们，你至少要拿出多少个球才能保证其中两个球颜色相同？

解决方法:把三种颜色想象成三个抽屉。

为了满足问题的含义，球的数量必须大于3。

大于3的最小数是4。

所以至少要取出四个球才符合要求。

a:至少要取出四个球。

班上有50个学生，那么你应该拿多少本书才能保证至少有一个学生能拿到两本或更多的书呢？

解决方法:把50个学生想象成50个抽屉，把书想象成苹果。

按照1原则，书比学生多。

即至少需要50+1=51本书。

答:至少需要51份。

例4:沿一条长100米的小路种植101棵树。不管你怎么种，两棵树之间的距离都不会超过1米。

解:将这条路径分成1米长的段，***100段。

每段视为一个抽屉，***100个抽屉，101的树视为101个苹果。

于是101个苹果被放进100个抽屉里，至少一个抽屉里有两个苹果。

也就是说，至少一个部分有两个或更多的树。

例5: 11学生从老师家借书。老师书房里有A、B、C、d四种书，每个学生最多可以借两种不同的书，至少一本。

试证明一定有两个学生借同类型的书。

证明:如果学生只借一本书，有A、B、C、d四种不同类型。

如果学生借两种不同类型的书，有六种不同类型:AB，AC，AD，BC，BD，CD。

* * *有10种。

把这些10类型想象成10“抽屉”

以11学生为11“苹果”。

谁借什么书，就进哪个抽屉。

从分类原理来看，至少有两个学生借同一类型的书。

例6:某项目单循环赛有50名运动员。如果没有平局，就没有完全的胜利。

试证明一定有两个运动员积分相同。

证明:每局得一分。

因为没有平局，没有胜利，比分只有1，2，3...49，而且只有49种可能。

把这49种可能的得分情况作为49个抽屉。

有50名运动员得分。

必须有两名运动员得分相同。

例7:体育用品仓库里有很多足球、排球、篮球。某个班的50个学生来仓库拿球。规定每个人最少要拿到1个球，最多两个球。有多少学生有相同种类的球？

解决问题的关键:利用鸽子洞原理2。

解决方法:根据规定，很多同学有以下九种配球方式:

{ Foot } { Row } { Blue } { Full } { Row } { Blue } { Foot Row } { Foot Blue } { Row Blue }

九个抽屉以这九种匹配方式制造。

把这50个学生想象成苹果。

=5.5……5

根据鸽子洞原理2k = []+1，至少有六个人，他们拿的球一模一样。

受访者:李耀鹏111 |三级| 2011-4-8 19:08 |举报。

桌子上有十个苹果。如果我们把这十个苹果放在九个抽屉里，不管怎么放，都会发现一个抽屉里至少会有两个苹果。这种现象就是我们所说的“鸽子洞原理”。鸽子洞原理的大概意思是:“如果每个抽屉代表一个集合，那么每个苹果可以代表一个元素。如果n个集合中有n+1个或更多元素，则一个集合中必须至少有两个元素。鸽笼原理有时被称为鸽笼原理(“如果有五个鸽笼，鸽子饲养员养了六只鸽子，那么当鸽子飞回笼子时，至少一个笼子里有两只鸽子”)。这是组合数学中的一个重要原理。