有趣的逻辑思维问题，数学问题
80年代初，为了学习更多的知识，我们这一代“知青”陆续进入“五大”，然后进入“成人自学考试”深造。我在西南财经大学读经济学的时候，一位德高望重的导师在一堂高等数学的面授课上告诉我们:人类文明的进步与数学的发展成正比；中国对人类数学的发展也做出了杰出的贡献，包括古代的祖冲之和今天的华。21世纪，有在座的各位，也有全国各地有志青年。
导师接着说:古代数学史上有三大世界难题(双立方、方圆、三分角)。现代数学史有第五公设，费马大定理和任意偶数表的两个元素之和。这些都被前人突破了，会突破的就要突破。现代发达国家的数学家在研究什么？21世纪的数学精英在攻击什么？
导师接着讲了现代数学中的三个难题:第一，有20棵树，每行4棵树；古罗马和古希腊在16世纪完成了16行的排列；高斯猜想可以在18世纪排列18行；美国的劳埃德在19世纪完成了这个猜想；两位计算机专家在20世纪末完成了20行。
第二，周边国家颜色不同。任何地图至少可以涂多少种颜色？五色已证。到目前为止，美国只有阿佩尔和哈肯列出了许多地图，这些地图都是由电子计算机在理论上完成的。综合逻辑人工推理证明还有待于做。
第三，任意三个人中必须有两个同性，任意六个互相认识或不认识的人中必须有三个同性(用红线认识，用蓝线不认识，即在六个质点的双色线连接中会出现单色三角形)。近几年的国际奥林匹克数学竞赛也是围绕这类热点话题选拔后备攻击力量。(比如十七个科学家讨论三个话题，一个话题两人一组，证明至少有三个科学家讨论同一个话题；十八个点用两种颜色连接起来，会出现一个单色的四边形；两种颜色和六个点必须有两个单色三角形，以此类推。)在单色三角形的研究中，尤其是没有单色三角形的极值图的研究是最难也是最热门的一个。
可以概括为种植20棵树的问题，四色地图的问题，单色三角形的问题。被称为现代数学三大难题。
那时候大学生一个学期能听导师讲的不到十次。数学三大难题是我们学生上课最难忘最精彩的一课。时光荏苒，光阴荏苒，又到了20世纪的第一个十年(区分下一个十年和第十个十年)。在此，我把我大学学习中最精彩、最难忘的一课献给不同层次、不同爱好的读者。
“千年问题”之一:P(多项式算法)对NP(非多项式算法)
在一个星期六的晚上，你参加了一个盛大的聚会。很尴尬，你想知道这个大厅里有没有你已经认识的人。你的主人建议你一定要认识坐在靠近甜点盘角落里的罗斯女士。你不需要一秒钟就能扫一眼那里，发现你的主人是对的。但是，如果没有这样的暗示，你必须环视整个大厅，一个一个地看每个人，看看有没有你认识的人。生成问题的解决方案通常比验证给定的解决方案花费更多的时间。这是这种普遍现象的一个例子。同样，如果有人告诉你，13、717、421这几个数可以写成两个更小的数的乘积，你可能不知道该不该相信他，但如果他告诉你可以因式分解成3607乘以3803，那么你就可以用袖珍计算器轻松验证这一点。无论我们是否熟练地编写了一个程序，确定一个答案是否可以用内部知识快速验证，或者在没有这种提示的情况下需要花费大量时间来解决，这被视为逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。是StephenCook在1971中陈述的。
“千年难题”之二:霍奇猜想
二十世纪的数学家找到了一种研究复杂物体形状的有效方法。基本的想法是问我们可以在多大程度上通过将简单的几何积木与增加的维度粘合在一起来塑造一个给定的物体。这项技术变得如此有用，以至于可以用许多不同的方式推广；最后，它导致了一些强大的工具，这些工具使数学家在对他们在研究中遇到的各种对象进行分类方面取得了很大的进步。不幸的是，在这种概括中，程序的几何起点变得模糊了。某种意义上，必须增加一些没有任何几何解释的部分。霍奇猜想断言，对于所谓的射影代数簇，一个叫做霍奇闭链的分量实际上是叫做代数闭链的几何分量的(有理线性)组合。
“千年之谜”之三:庞加莱猜想
如果我们在苹果表面周围拉伸橡皮筋，那么我们可以慢慢移动它，把它收缩成一个点，而不会弄断它或让它离开表面。另一方面，如果我们想象同样的橡胶带在轮胎胎面上以适当的方向拉伸，没有办法在不破坏橡胶带或轮胎胎面的情况下将其收缩到一点。我们说苹果表面是“单连通”的，但轮胎胎面不是。大约一百年前，庞加莱就知道二维球面在本质上可以用简单连通来表征，他提出了三维球面(四维空间中距离原点单位距离的所有点)的相应问题。这个问题立刻变得异常困难，从此数学家们一直在为之奋斗。
第四个“十亿十亿十亿个难题”:黎曼假设
有些数具有特殊的性质，不能用两个较小数的乘积来表示，例如2，3，5，7等。这样的数叫做质数；它们在纯数学及其应用中起着重要的作用。在所有自然数中，这种素数的分布不遵循任何规律；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率与一个构造良好的所谓黎曼ζ函数z(s$)的行为密切相关。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这已经在最初的1，500，000，000个解决方案中得到验证。证明它适用于每一个有意义的解，将会揭开围绕素数分布的许多谜团。
“千百千百个谜题”之五:杨磨坊的存在与质量差距。
量子物理定律是为基本粒子世界建立的，就像牛顿经典力学定律是为宏观世界建立的一样。大约半个世纪前，杨振宁和米尔斯发现量子物理学揭示了基本粒子物理学和几何对象数学之间的惊人关系。基于Young-Mills方程的预言已经在世界各地实验室的以下高能实验中得到证实:Brockhaven、斯坦福、CERN和筑波。然而，他们描述重粒子并且数学上严格的方程没有已知解。特别是“质量间隙”假说，这个假说被大多数物理学家所证实，并被应用于解释夸克的不可见性，但它从来没有得到令人满意的数学证明。在这个问题上的进展需要在物理学和数学中引入基本的新概念。
第六个“千年难题”:Navier-Stokes方程的存在性和光滑性
起伏的波浪跟随我们的船蜿蜒穿过湖面，汹涌的气流跟随我们现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家确信，微风和湍流都可以通过理解纳维尔-斯托克斯方程的解来解释和预测。虽然这些方程写于19世纪，但我们对它们的了解仍然很少。挑战是在数学理论上取得实质性的进展，这样我们才能解开隐藏在纳维尔-斯托克斯方程中的谜团。
“千年之谜”之七:伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想。
数学家们总是着迷于x ^ 2+y ^ 2 = z ^ 2等代数方程的所有整数解的刻画。欧几里德曾经给出了这个方程的完整解，但是对于更复杂的方程，就变得异常困难。事实上，作为余。V.Matiyasevich指出，希尔伯特的第十个问题是无解的，即没有一个通用的方法来确定这样的方法是否有整数解。当解是阿贝尔簇的一个点时，贝赫和斯韦诺顿-戴尔猜想有理点群的大小与在点s=1附近的相关Zeta函数z(s)的行为有关。特别是这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，有无穷多个有理点(解)；反之，如果z(1)不等于0，则这样的点只有有限个。